基本情報技術者

【基本情報技術者試験】2の補数

本日のテーマは「2の補数」です。

次の問題は基本情報技術者試験で過去に出題された「2の補数」についての問題です。解けるかな?

「2の補数」はわかりますが、この問題はわかりません・・・

問題

8ビットの2進数11010000を右に2ビット算術シフトしたものを,00010100から減じた値はどれか。ここで,負の数は2の補数表現によるものとする。

  • ア:00001000
  • イ:00011111
  • ウ:00100000
  • エ:11100000

基本情報技術者平成24年秋期 午前問1

問題

ある整数値を,負数を2の補数で表現する2進表記法で表すと最下位2ビットは"11"であった。10進表記法の下で,その整数値を4で割ったときの余りに関する記述として,適切なものはどれか。ここで,除算の商は,絶対値の小数点以下を切り捨てるものとする。

  • ア:その整数値が正ならば3
  • イ:その整数値が負ならば-3
  • ウ:その整数値が負ならば3
  • エ:その整数値の正負にかかわらず0

基本情報技術者平成30年春期 午前問1

コンピュータで負の数をあらわすのに使用する「2の補数」、「2の補数」は理解してしまえば、そこまで難しい言葉ではありません。しかし、基本情報技術者試験では単純に「2の補数」を求めるだけの問題が出題されることもありますが、上記の過去問のようにそうではないことも多いです。

本記事では「2の補数」について図解を利用して分かりやすく解説していきます。

本記事で学べること

  • 2の補数の求め方を理解
  • 基本情報技術者試験の過去問の解き方を学ぶ

2の補数

補数とは「補う数」という意味で「足すと桁が1つ上がる数のうち最も小さい数」のことを「基数の補数」といいます。

基数とは、数値を表現する際に位取りの基準となる数のことであり、2進数や10進数などの「n進数」のnの部分を基数といいます。

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例えば、10進数の「4」という数に「6」を足すと、桁が1つ上がり「10」となり「6」は「4」に対する「10の補数」です。

基数の補数

2進数も同じで「0101」に「1011」を足すと、桁が1つ上がり「10000」となり「1011」は「0101」に対する「2の補数」であるのがわかります。

コンピュータでは、負の数をあらわすのに「2の補数」を使用しています。

2の補数の最上位ビットは符号(0:正の数、1:負の数)として扱うことができます。この正の数と負の数はお互いに2の補数という関係にあります。(例えば、正の数「0100(4)」の2の補数は負の数「1100(-4)」であり、負の数「1100(-4)」の2の補数は正の数「0100(4)」となる)

2の補数の求め方

例題

2進数「0101」に対する「2の補数」を求めよ

2の補数は次のような手順で求めることができます。

2の補数の求め方

【手順1】すべてのビットを反転させる

0101 (10進数:5)

↓ すべてのビットを反転させる

1010

【手順2】反転させたビットに1を加算する

1010 + 0001 = 1011(10進数:-5)

2の補数を使った計算

例題

「5 - 3」を2進数を使い計算せよ。

それでは、2の補数を使った計算方法の例を紹介します。例題のように2の補数を使って減法する場合は「5 - 3」を「5 + (-3)」として計算します。

まずは「5」と「3」を2進数にします。※8ビットを例としています。

10進数「5」→ 2進数「0000 0101」

10進数「3」→ 2進数「0000 0011」

そして「3」に対する2の補数を求めます。

0000 0011 (3)

↓ すべてのビットを反転させる

1111 1100

↓ 1を加算する

1111 1101 (-3)

最後に「0000 0101」(5) + 「1111 1101」(-3) を計算します。計算式と答えは次のとおりです。

2の補数の計算例

「5 + (-3) = 2」と答えを求めることができました。

基本情報技術者試験 過去問の解説

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基本情報技術者平成24年秋期 午前問1

問題

8ビットの2進数11010000を右に2ビット算術シフトしたものを,00010100から減じた値はどれか。ここで,負の数は2の補数表現によるものとする。

  • ア:00001000
  • イ:00011111
  • ウ:00100000
  • エ:11100000

基本情報技術者平成24年秋期 午前問1

この問題は次の2つのステップをおこなうことで答えを求めることができます。

  • ステップ1:2進数11010000を右に2ビット算術シフトした値を求める
  • ステップ2:「00010100 - ステップ1で求めた値」を計算する

【ステップ1】右に2ビット算術シフトした値を求める

まずは2進数11010000を右に2ビット算術シフトします。算術シフトとは割り算をおこなうということです。右に2ビットシフトすると元の数を1/22にした値を得ることができます。

算術シフト

算術シフト

11010000

↓ 先頭の符号ビット以外の桁を右に2ビットずらす

11110100 00

(あふれたビットは捨てて、空いたビットに符号ビットを入れる)

算術シフトの詳細はこちら

2進数「11010000」を右に2ビット算術シフトした結果、2進数「11110100」を求めることができました。

【ステップ2】「00010100 - ステップ1で求めた値」を計算する

ステップ1で求めた値を「x」とすると、次のように式を変換して計算します。

  • xが正の数の場合は「00010100 - x」を「00010100 + (-x)」として計算。※「3 - (1)」を「3 + (-1)」に変えて計算するのと同じ
  • xが負の数の場合は「00010100 - (-x)」を「00010100 + x」として計算。※「3 - (-1)」を「3 + 1」に変えて計算するのと同じ

問題文の中に「負の数は2の補数表現によるものとする」と書かれているので、ステップ1で求めた値が負の数であることがわかります。(先頭のビットが"1"なので負の数)

xが負の数の場合は「00010100 - (-x)」を「00010100 + x」として計算するので、ステップ1で求めた値の2の補数を求めます。(負の数の2の補数を求めることで正の数に変換できる)

2の補数を求める

11110100

↓ すべてのビットを反転させる

00001011

↓ 1を加算する

00001100

あとは、「00010100 + 00001100」を計算することで答えを求めることができます。

2進数の足し算

「ウ」の「00100000」が正解です。

ちなみに次のように求めることもできます。

 

10進数で計算する方法

(1) 2進数「00010100」→ 10進数「20」・・・ ①

(2) ステップ1で求めた2進数「11110100」の2の補数を求めると「00001100」(10進数:12)になるため2進数「11110100」の10進数は以下になる

2進数「11110100」は10進数の「-12」・・・②

(3)「① - ②」 を10進数で計算する

20 - (-12) = 32 ・・・③

(4) ③の計算結果を2進数に戻す

00100000

基本情報技術者平成30年春期 午前問1

問題

ある整数値を,負数を2の補数で表現する2進表記法で表すと最下位2ビットは"11"であった。10進表記法の下で,その整数値を4で割ったときの余りに関する記述として,適切なものはどれか。ここで,除算の商は,絶対値の小数点以下を切り捨てるものとする。

  • ア:その整数値が正ならば3
  • イ:その整数値が負ならば-3
  • ウ:その整数値が負ならば3
  • エ:その整数値の正負にかかわらず0

基本情報技術者平成30年春期 午前問1

この問題は次の2つのステップをおこなうことで答えを求めることができます。

  • ステップ1:正の整数で計算(正の整数 ÷ 4)
  • ステップ2:負の整数で計算(負の整数 ÷ 4)

[ステップ1] 正の整数で計算(正の整数 ÷ 4)

最下位2ビットが“11”である正の整数で計算します。今回は2進数「0011」で計算してみます。

整数値が正

2進数「0011」→ 10進数「3」

10進数「3」を「4」で割ったときの余りは「3」

[ステップ2] 負の整数で計算(負の整数 ÷ 4)

最下位2ビットが“11”である負の整数で計算します。今回は2進数「1011」(負の数なので先頭ビットは1)で計算してみます。

まずは「1011」の10進数が知りたいので、2の補数を求めます。

2の補数を求める

1011

↓ すべてのビットを反転させる

0100

↓ 1を加算

0101 (10進数:5)

2の補数を求めた結果、2進数「1011」は10進数で「-5」であることがわかりました。負の整数がわかったので「負の整数 ÷ 4」の式を解きます。

-5 ÷ 4 = -2 余り 3

もしくは

-5 ÷ 4 = -1 余り -1

負数を4で割ると余りは「3」 または「-1」になることがわかります。(※余りにマイナスを許容するかしないかで変わる)

ここで、設問の「除算の商は,絶対値の小数点以下を切り捨てるものとする」という条件を適用します。

-5 ÷ 4 = -1.25

↓ 絶対値の小数点以下を切り捨てると商は「-1」

商が「-1」ならば余りは「-1」

上記の結果より、整数値が正のときの余りは「3」、負のときの余りは「-1」と求めることができました。答えは「」です。
この問題は次のようにシフト演算を使って解くこともできます。

シフト演算を使った解き方

4で割ったときの余りを求めるので、右算術シフトで右へ2ビットシフト(4は22になる)します。右算術シフトでは、あふれたビットが割り算の余り(わり切れるときは"0"があふれる、わり切れないときは"1"があふれる)を示します。

[整数値が正の場合]

正の数を右に2ビットシフト

[整数値が負の場合]

負の数を右に2ビットシフト

上記図のように、整数値が正の場合は「11」があふれるので余りは「3」、整数値が負の場合も同様に「11」があふれ、負の数なので2の補数で値を求めると余りは「-1」と導き出すことができます。


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