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ド・モルガンの法則とは

ド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則とは、次のような式が成り立つという法則のことです。

ド・モルガンの法則

数学者オーガスタス・ド・モルガン(Augustus de Morgan)という人が発見した法則のため「ド・モルガンの法則」と呼ばれています。

それでは、実際にベン図を使って「ド・モルガンの法則」を説明していきます。

ド・モルガンの法則その1「 A ⋃ B = AB 」

まずは「A ⋃ B」をベン図であらわします。

「A ⋃ B」(A または B)のベン図は次のとおり。

和集合

この「A ⋃ B」の否定が「A ⋃ B」です。

A ⋃ B」(A または Bではない)のベン図は次のとおり。

和集合の否定

 

続いては「AB」をベン図であらわします。

Aの否定「A」(Aではない)とBの否定「B」(Bではない)のベン図は次のとおり。

Aではない

Bではない

この両方を満たすのが「AB」(Aではない かつ Bではない)であり、ベン図は次のとおり。

和集合の否定

 

上記よりA ⋃ B」と「A ⋃ B」はどちらも同じベン図になることがわかります。

このことから「A ⋃ B = AB」の式は成り立つといえます。

ド・モルガンの法則その2「 A ⋂ B = AB

まず「A ⋂ B」をベン図であらわします。

「A ⋂ B」(A かつ B)のベン図は次のとおり。

積集合

この「A ⋂ B」の否定が「A ⋂ B」です。

A ⋂ B」(A かつ Bではない)のベン図は次のとおり。

積集合の否定

 

続いては「AB」をベン図であらわします。

Aの否定「A」(Aではない)とBの否定「B」(Bではない)のベン図は次のとおり。

Aではない

Bではない

このどちらか一方でも満たすのが「AB」(Aではない または Bではない)であり、ベン図は次のとおり。

積集合の否定

 

上記よりA ⋂ B = AB」はどちらも同じベン図になることがわかります。

このことから「A ⋂ B = AB」の式は成り立つといえます。

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