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カルノー図法とは

カルノー図法

カルノー図とは、論理式を簡略化するための表のことです。そして、この表を用いて論理式の簡略化を行う手法のことをカルノー図法といいます。

論理式を簡略化するための表?どういうことですか?
そうですよね、それではもう少し具体的に説明していきます。

 

カルノー図法を利用すると、論理式を簡略化することができます。

例えば次のような論理式「AB + A・B + A・B」があるとします。

この論理式に対してカルノー図法を用いて簡略化すると「A・B」で済むことが分かります。

カルノー図法とは

このようにカルノー図法を利用することで、論理式を簡略化することができます。

ここからは、カルノー図法の手順を解説していきます。

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カルノー図の作り方

今回の例では、論理式「AB + A・B + A・B」のカルノー図を作成しています。

まず次のように縦軸にA、横軸にBの取り得る真偽値を書いた表を用意します。

AB 0 1
0
1

 

そして、論理式「AB + A・B + A・B」を解いていきます。

  • 「A = 0」「B = 0」の場合:1
  • 「A = 1」「B = 0」の場合:1
  • 「A = 0」「B = 1」の場合:1
  • 「A = 1」「B = 1」の場合:0

 

論理式を解いたらその結果をカルノー図へと反映します。

AB 0 1
0 1 1
1 1 0
これでカルノー図の作成は完了です。

カルノー図法を用いた論理式の簡略化

続いては、カルノー図法から論理式を導き出す方法について紹介します。

手順1. グループ化する

カルノー図の中で真となる値を、長方形または正方形でグループ化します。今回の例では2つのグループが作成できます。

■グループ1

AB 0 1
0 1 1
1 1 0

■グループ2

AB 0 1
0 1 1
1 1 0

手順2. 共通項を導き出す

続いては各グループの、共通項を導き出します。

■グループ1

AB 0 1
0 1 1
1 1 0
  • Aが0、Bが0 → AB
  • Aが0、Bが1 → A・B

どちらも「A」が含まれているので、共通項は「Aです。

■グループ2

AB 0 1
0 1 1
1 1 0
  • Aが0、Bが0 → AB
  • Aが1、Bが0 → A・B

どちらも「B」が含まれているので、共通項は「Bです。

手順3. 共通項を論理和でくっつける

最後に共通項を論理和でくっつけます。

AB

↓ ド・モルガンの法則

A・B

これでカルノー図法を用いた論理式の簡略化は完了です。

メモ

ド・モルガンの法則とは、AB = A・B の式が成り立つという法則のこと

カルノー図法の問題例

応用情報技術者試験の過去問を用いて、カルノー図法の問題を解いていきます。

A,B,C,Dを論理変数とするとき,次のカルノー図と等価な論理式はどれか。ここで,・は論理積,+は論理和,XはXの否定を表す。

ABCD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 0 0 0

ア:  A・B・C・D + BD

イ:  ABCD + B・D

ウ:  A・B・D + BD

エ:  ABD + B・D

出典:応用情報技術者試験平成26年度秋期 午前問1

グループ化

まずはカルノー図の真の値をグループ分けします。

■グループ1

ABCD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 0 0 0

※上下と左右の端はつながっていると考えてグループ化します。

■グループ2

ABCD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 0 0 0

共通項を導き出す

■グループ1

ABCD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 0 0 0
  • Aが「0」、Bが「0」、Cが「0」、Dが「0」→ ABCD
  • Aが「0」、Bが「0」、Cが「1」、Dが「0」→ AB・C・D

共通項は「ABD

■グループ2

ABCD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 0 0 0
  • Aが「0」、Bが「1」、Cが「0」、Dが「1」→ ABCD
  • Aが「0」、Bが「1」、Cが「1」、Dが「1」→ AB・C・D
  • Aが「1」、Bが「1」、Cが「0」、Dが「1」→ A・BCD
  • Aが「1」、Bが「1」、Cが「1」、Dが「1」→ A・B・C・D

共通項は「B・D

共通項の論理和

最後に共通項を論理和でくっつけると「ABD + B・D」となり、答えは「エ」です。

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