次の問題は基本情報技術者試験で過去に出題された「2の補数」についての問題です。解けるかな？
問題
8ビットの2進数11010000を右に2ビット算術シフトしたものを，00010100から減じた値はどれか。ここで，負の数は2の補数表現によるものとする。
- ア：00001000
- イ：00011111
- ウ：00100000
- エ：11100000
基本情報技術者平成24年秋期 午前問1
問題
ある整数値を，負数を2の補数で表現する2進表記法で表すと最下位2ビットは"11"であった。10進表記法の下で，その整数値を4で割ったときの余りに関する記述として，適切なものはどれか。ここで，除算の商は，絶対値の小数点以下を切り捨てるものとする。
- ア：その整数値が正ならば3
- イ：その整数値が負ならば－3
- ウ：その整数値が負ならば3
- エ：その整数値の正負にかかわらず0
基本情報技術者平成30年春期 午前問1
コンピュータで負の数をあらわすのに使用する「2の補数」、「2の補数」は理解してしまえば、そこまで難しい言葉ではありません。しかし、基本情報技術者試験では単純に「2の補数」を求めるだけの問題が出題されることもありますが、上記の過去問のようにそうではないことも多いです。
本記事では「2の補数」について図解で分かりやすく解説していきます。
本記事で学べること
- 2の補数の求め方を理解
- 基本情報技術者試験の過去問の解き方を学ぶ
目次
2の補数
補数とは「補う数」という意味で「足すと桁が1つ上がる数のうち最も小さい数」のことを「基数の補数」といいます。
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例えば、10進数の「4」という数に「6」を足すと、桁が1つ上がり「10」となり「6」は「4」に対する「10の補数」です。
2進数も同じで「0101」に「1011」を足すと、桁が1つ上がり「10000」となり「1011」は「0101」に対する「2の補数」であるのがわかります。
コンピュータでは、負の数をあらわすのに「2の補数」を使用しています。
2の補数の最上位ビットは符号（0:正の数、1：負の数）として扱うことができます。この正の数と負の数はお互いに2の補数という関係にあります。（例えば、正の数「0100(4)」の2の補数は負の数「1100(-4)」であり、負の数「1100(-4)」の2の補数は正の数「0100(4)」となる）
2の補数の求め方
例題
2進数「0101」に対する「2の補数」を求めよ
2の補数は次のような手順で求めることができます。
【手順1】すべてのビットを反転させる
0101 (10進数：5）
↓ すべてのビットを反転させる
1010
【手順2】反転させたビットに1を加算する
1010 + 0001 = 1011（10進数：-5）
2の補数を使った計算
例題
「5 - 3」を2進数を使い計算せよ。
それでは、2の補数を使った計算方法の例を紹介します。例題のように2の補数を使って減法する場合は「5 - 3」を「5 + (-3)」として計算します。
まずは「５」と「3」を2進数にします。※8ビットを例としています。
10進数「5」→ 2進数「0000 0101」
10進数「3」→ 2進数「0000 0011」
そして「3」に対する2の補数を求めます。
0000 0011 (3)
↓ すべてのビットを反転させる
1111 1100
↓ 1を加算する
1111 1101 (-3)
最後に「0000 0101」(5) + 「1111 1101」(-3) を計算します。計算式と答えは次のとおりです。
基本情報技術者試験 過去問の解説
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基本情報技術者平成24年秋期 午前問1
問題
8ビットの2進数11010000を右に2ビット算術シフトしたものを，00010100から減じた値はどれか。ここで，負の数は2の補数表現によるものとする。
- ア：00001000
- イ：00011111
- ウ：00100000
- エ：11100000
基本情報技術者平成24年秋期 午前問1
この問題は次の2つのステップをおこなうことで答えを求めることができます。
- ステップ1：2進数11010000を右に2ビット算術シフトした値を求める
- ステップ2：「00010100 - ステップ1で求めた値」を計算する
【ステップ1】右に2ビット算術シフトした値を求める
まずは2進数11010000を右に2ビット算術シフトします。算術シフトとは割り算をおこなうということです。右に2ビットシフトすると元の数を1/22倍にした値を得ることができます。
算術シフト
11010000
↓ 先頭の符号ビット以外の桁を右に2ビットずらす
11110100 00
(あふれたビットは捨てて、空いたビットに符号ビットを入れる）
算術シフトの詳細はこちら
2進数「11010000」を右に2ビット算術シフトした結果、2進数「11110100」を求めることができました。
【ステップ2】「00010100 - ステップ1で求めた値」を計算する
ステップ1で求めた値を「x」とすると、次のように式を変換して計算します。
- xが正の数の場合は「00010100 - x」を「00010100 + (-x)」として計算。※「3 - (1)」を「3 + (-1)」に変えて計算するのと同じ
- xが負の数の場合は「00010100 - (-x)」を「00010100 + x」として計算。※「3 - (-1)」を「3 + 1」に変えて計算するのと同じ
問題文の中に「負の数は2の補数表現によるものとする」と書かれているので、ステップ1で求めた値が負の数であることがわかります。(先頭のビットが"1"なので負の数）
xが負の数の場合は「00010100 - (-x)」を「00010100 + x」として計算するので、ステップ1で求めた値の2の補数を求めます。（負の数の2の補数を求めることで正の数に変換できる）
2の補数を求める
11110100
↓ すべてのビットを反転させる
00001011
↓ 1を加算する
00001100
あとは、「00010100 + 00001100」を計算することで答えを求めることができます。
ちなみに次のように求めることもできます。
10進数で計算する方法
(1) 2進数「00010100」→ 10進数「20」・・・ ①
(2) ステップ1で求めた2進数「11110100」の2の補数を求めると「00001100」（10進数：12）になるため2進数「11110100」の10進数は以下になる
2進数「11110100」は10進数の「-12」・・・②
(3)「① - ②」 を10進数で計算する
20 - (-12) = 32 ・・・③
(4) ③の計算結果を2進数に戻す
00100000
基本情報技術者平成30年春期 午前問1
問題
ある整数値を，負数を2の補数で表現する2進表記法で表すと最下位2ビットは"11"であった。10進表記法の下で，その整数値を4で割ったときの余りに関する記述として，適切なものはどれか。ここで，除算の商は，絶対値の小数点以下を切り捨てるものとする。
- ア：その整数値が正ならば3
- イ：その整数値が負ならば－3
- ウ：その整数値が負ならば3
- エ：その整数値の正負にかかわらず0
基本情報技術者平成30年春期 午前問1
この問題は次の2つのステップをおこなうことで答えを求めることができます。
- ステップ1：正の整数で計算（正の整数 ÷ 4）
- ステップ2：負の整数で計算（負の整数 ÷ 4）
[ステップ1] 正の整数で計算（正の整数 ÷ 4）
最下位2ビットが“11”である正の整数で計算します。今回は2進数「0011」で計算してみます。
整数値が正
2進数「0011」→ 10進数「3」
10進数「3」を「4」で割ったときの余りは「3」
[ステップ2] 負の整数で計算（負の整数 ÷ 4）
最下位2ビットが“11”である負の整数で計算します。今回は2進数「1011」（負の数なので先頭ビットは1）で計算してみます。
まずは「1011」の10進数が知りたいので、2の補数を求めます。
2の補数を求める
1011
↓ すべてのビットを反転させる
0100
↓ 1を加算
0101 (10進数：5）
2の補数を求めた結果、2進数「1011」は10進数で「-5」であることがわかりました。負の整数がわかったので「負の整数 ÷ 4」の式を解きます。
式
-5 ÷ 4 = -2 余り 3
もしくは
-5 ÷ 4 = -1 余り -1
負数を4で割ると余りは「3」 または「-1」になることがわかります。（※余りにマイナスを許容するかしないかで変わる）
ここで、設問の「除算の商は，絶対値の小数点以下を切り捨てるものとする」という条件を適用します。
式
-5 ÷ 4 ＝ -1.25
↓ 絶対値の小数点以下を切り捨てると商は「-1」
商が「-1」ならば余りは「-1」
シフト演算を使った解き方
4で割ったときの余りを求めるので、右算術シフトで右へ2ビットシフト（4は22になる）します。右算術シフトでは、あふれたビットが割り算の余り（わり切れるときは"0"があふれる、わり切れないときは"1"があふれる）を示します。
[整数値が正の場合]
[整数値が負の場合]
上記図のように、整数値が正の場合は「11」があふれるので余りは「3」、整数値が負の場合も同様に「11」があふれ、負の数なので2の補数で値を求めると余りは「-1」と導き出すことができます。