【基本情報技術者試験】コンピュータの誤差

本日のテーマはコンピュータで発生する誤差です。

「丸め誤差」や「打切り誤差」のことですね。

そのとおり。次の問題は基本情報技術者試験の過去問です。

コンピュータで発生する誤差には「丸め誤差」「打切り誤差」「桁落ち」「情報落ち」などがあります。

本記事では「丸め誤差」「打切り誤差」「桁落ち」「情報落ち」について図解で分かりやすく解説していきます。

コンピュータの誤差

コンピュータで小数を扱う方法の1つに「浮動小数点数」があります。浮動小数点数では、小数で表現できる数の範囲が決まっています。

例えば、32ビット形式の浮動小数点数では、仮数部は24ビットです。

このように、浮動小数点数で小数を表現する場合、表現できる数の範囲が決まっており、限られたビット数で数をあらわします。

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そのため、表現できる数の範囲を超えてしまうことがあり（表現できる数の最小値を超えることを"アンダーフロー"、最大値を超えることを"オーバーフロー"という）、表現できる数の範囲を超えてしまった場合、コンピュータはなるべく近い値を使います。その結果、実際の値と誤差が生じてしまいます。

これがコンピュータで発生する誤差です。

コンピュータで発生する誤差には「丸め誤差」「打切り誤差」「桁落ち」「情報落ち」などがあります。

コンピュータで発生する誤差の種類

丸め誤差

丸め誤差とは、コンピュータが「表現できる数の範囲」（有効桁）を超えてしまった際に、「四捨五入」や「切り上げ」「切り捨て」などを行い有効桁以降の値を捨てることにより生じる誤差のことです。

打切り誤差

打切り誤差とは、計算処理を途中で打ち切ることにより発生する誤差のことです。

例えば次のような計算があるとします。※説明のため10進数を例にしています。

上記のように無限に続く計算を無限回おこなうわけにはいかないため、途中で計算を打ち切ります。その結果、正しい値との間に誤差が発生します。この時に発生する誤差が「打切り誤差」です。

円周率「3.14159265358979323846264338327950288...」を「3.14」にすることで生じる誤差も打切り誤差です。

桁落ち

桁落ちとは、値がほぼ等しい数値の差を求めた時に有効数字が大きく減ることによって生じる誤差のことです。※有効数字：位取りを示すだけのゼロを除いた意味のある数字

桁落ちは複雑なので例題を使って説明します。※説明のため10進数を例にしています。

(1) 値がほぼ等しい２つの数値の差を求める

まず小数の計算をするため浮動小数点数にします。今回の例では、有効数字は7桁なので7桁に収まらない値は「丸め誤差」により切り捨てます。

2つの数値の差を求める

(2) 正規化する

最後に正規化します。正規化とは小数点の位置を調整し最上位桁を0以外の値にする作業のことです。

正規化することで有効桁数を最大化し丸め誤差をできるだけ少なくすることができます。

以下は正規化のイメージ例です。※10進数の例

値がほぼ等しい値の差を求めた結果、有効数字が4桁に減っています。

そして 正規化した結果、仮数部が７桁になるように不足している部分を0で埋めます。このとき付与された「0」は正しい値であるかの保証がないのです。

これが「桁落ち」による誤差です。

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ためしに丸め誤差や正規化を考えずに、元データの差を計算してみます。

答えは「0.03165445」です。やはり「0」は正しい値ではありませんでした。

桁落ちによって「0.3165000 × 10^-1」となりましたが、本来であれば「0.3165445 × 10^-1」が正しい値です。※赤字の個所が桁落ちにより発生した誤差

情報落ち

情報落ちとは、コンピュータで絶対値の大きな値と小さい値の加減算を行った際に、小さい値の情報が無視されてしまうことによって生じる誤差のことです。

例えば、次のような値の和を求めてみます。※有効桁数は4桁で説明のため10進数を例にしています。

正規化した結果「0.1234 × 10²」となり、小さい数である「0.00001234」はなかったことになっています。これが「情報落ち」です。

基本情報技術者試験 過去問の解説

桁落ちとは、値がほぼ等しい数値の差を求めた時に有効数字が大きく減ることによって生じる誤差のことです。

それでは、解答のア～エについてみていきます。